υπερβολή

Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ενός επιπέδου, τα οποία έχουν σταθερή διαφορά αποστάσεων από δύο δοθέντα σημεία του επιπέδου (εστίες). Η υ. είναι κωνική καμπύλη, προέρχεται, δηλαδή, από την τομή ενός επιπέδου με έναν κώνο και παριστάνεται με την εξίσωση α₁₁x² + 2α₁₂xy + α₂₂y² + 2α₁₃xz + 2α₂₃yz +α₃₃z² = 0, όταν α₁₁α₂₂ -α² ₁₂ < 0, δηλαδή η επί του επιπέδου της ευθεία (z = 0) όταν προχωρήσει στο άπειρο την τέμνει σε δύο πραγματικά σημεία. Η υ. είναι μια καμπύλη κλειστή, κατά την έννοια της προβολής, παρουσιάζει όμως δύο χωριστούς κλάδους με δύο διαφορετικές εφαπτόμενες σε δύο σημεία που βρίσκονται στο άπειρο. Οι εφαπτόμενες λέγονται ασύμπτωτοι (βλ. σχ. 1). Η υ. λέγεται ισοσκελής όταν οι ασύμπτωτοι σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία. Μια υ. μπορεί να θεωρηθεί και ως τομή κυκλικού κώνου με επίπεδο παράλληλο προς δύο γενέτειρές του (βλ. σχ. 2). Η υ. έχει ως κέντρο συμμετρίας το σημείο συνάντησης των δύο ασύμπτωτων και ως άξονες συμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών τους. Από αυτές, η μια τέμνει πραγματικά την υ. σε δύο σημεία, ένα σε κάθε σκέλος της, και λέγεται εγκάρσιος άξονας, η δε άλλη δεν την τέμνει και λέγεται μη εγκάρσιος άξονας. Αν λάβουμε τους άξονες της υ. ως άξονες συντεταγμένων, και συγκεκριμένα τον εγκάρσιο ως άξονα των x, η εξίσωση του τα δε σημεία με συντεταγμένες y = 0, x = ± α, x = 0, y = ± iβ, είναι οι 4 κορυφές του, 2 πραγματικές στον εγκάρσιο άξονα και 2 φανταστικές στον μη εγκάρσιο. Εστίες της υ. καλούνται τα δύο σημεία στον εγκάρσιο άξονα με συντεταγμένες . Ο τύπος των συντεταγμένων των εστιών μάς υποδεικνύει την εύκολη γεωμετρική κατασκευή τους, εφόσον μας είναι γνωστά το α και το β (το c είναι η υποτείνουσα τριγώνου με κάθετες πλευρές α και β). Ένας απλός υπολογισμός είναι αρκετός για να αποδείξει ότι οι εστίες F και F’ παρουσιάζουν πάντα τη σχέση | PF - PF’| = 2α, δηλαδή ότι η υ. είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ρ, που έχουν σταθερή διαφορά απόστασης από τα δύο σταθερά σημεία F και F’. Διευθετούσες γραμμές της υ. είναι οι δύο ευθείες, παράλληλες προς τον άξονα των y, με εξίσωση δηλαδή τις πολικές συντεταγμένες των εστιών ως προς την υ. Από την εξίσωση της υ., αναφορικά προς τους άξονές της, είναι εύκολο να αποδειχτεί και η άλλη ιδιότητα που χαρακτηρίζει την υ. ως κωνική τομή, δηλαδή ότι είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ρ, που έχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο (εστία) και από μια σταθερή ευθεία (διευθετούσα). Η σταθερή αυτή σχέση εκφράζει την εκκεντρότητα: . Οι δύο ασύμπτωτοι που εφάπτονται σε σημεία που βρίσκονται στο άπειρο έχουν εξίσωση βx ± αy = 0. Επειδή στην ισοσκελή υ. οι δύο αυτές ευθείες είναι ορθογώνιες, προκύπτει ότι α = β, απ’ όπου και ο χαρακτηρισμός ισοσκελής. Η εξίσωση της υ. ως προς τις ασύμπτωτες όταν ληφθούν ως άξονες συντεταγμένων, είναι του τύπου xy = Κ και συνεπώς ονομάζουμε κατ’ επέκταση υ. ανώτερης τάξης την επίπεδη καμπύλη γραμμή που αντιστοιχεί στην εξίσωση X^myⁿ = K^m+n.

* * *

η, / ὑπερβολή, ΝΜΑ [ὑπερβάλλω]

1. το να είναι κάτι υπερβολικό, πέρα από το καθορισμένο ή από το ανεκτό όριο (α. «υπερβολή αυστηρότητας» β. «ὑπερβολὴν τῆς ἐπιθυμίας ἔχειν», Ανδοκ.)

2. γραμμ. σχήμα λόγου με το οποίο δηλώνεται κάτι που ξεπερνά κατά πολύ το κανονικό και το συνηθισμένο, με στόχο να δημιουργήσουμε εντύπωση ή να κάνουμε περισσότερο σαφές αυτό που θέλουμε να πούμε, π.χ. «βιτσιά δίνει τ' αλόγου του και πάει σαράντα μίλια»

3. μαθημ. καμπύλη αποτελούμενη από δύο διάκριτους κλάδους εκτεινόμενους στο άπειρο, η οποία είναι γεωμετρικός τόπος τών σημείων ενός επιπέδου τών οποίων η διαφορά αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία, ονομαζόμενα εστίες, είναι σταθερή

4. φρ. «καθ' υπερβολήν» — υπερβολικά, υπέρμετρα

νεοελλ.

το να εξογκώνει, να μεγαλοποιεί κανείς τα πράγματα (α. «αυτό που λες είναι υπερβολή» β. «πάντα λέει υπερβολές»)

αρχ.

1. βολή, ρίψη πέρα από κάποιο σημείο («δίσκων ὑπερβολαῑς», Φιλόστρ.)

2. υπέρβαση, πέρασμα πάνω από λόφο ή βουνό («ὑπερβολὴ ὄρους», Πολ.)

3. το μέρος όρους, λόφου, ποταμού από όπου γίνεται η διάβαση, πέρασμα («ἡ κατὰ τὸν Αἶμον ὑπερβολή», Διόδ.)

4. υπεροχή, ισχυρότερη δύναμη («χερῶν ὑπερβολαῑς», Ευρ.)

5. το ανώτατο, το τελευταίο όριο («ταῡτα τάχ' οὐχ ὑπερβολή», Δημοσθ.)

6. αναβολή, αργοπορία

7. το ύψος αστέρα στον ουρανό

8. (η δοτ. εν. ως επίρρ.) ὑπερβολῇ

υπερβαλλόντως, υπερβολικά

9. φρ. α) «ὑπερβολὴ χρημάτων» — υπερβολικά υψηλή τιμή (Ευρ.)

β) «ὑπερβολὴ τοῡ καινοῡσθαι» — υπέρμετρη τάση για πολιτειακές αλλαγές (Θουκ.)

γ) «οὐκ ἔχει τι ὑπερβολήν» — δεν μπορεί να φτάσει λίγο παραπέρα, (Δημοσθ.)

δ) «ὑπερβολὴν ποιῶ τῆς τιμῆς» — υψώνω την τιμή, κάνω αύξηση τιμής (Αριστοτ.)

ε) «ὑπερβολαὶ δωρεῶν» — μεγάλες παροχές (Δημοσθ.)

στ) «εἰς ὑπερβολήν» — υπερβολικά (Ευρ.)

ζ) «καθ' ὑπερβολὴν τοξεύω» — ρίχνω το βέλος πολύ επιδέξια (Σοφ.)

η) «ὑπερβολὴν ποιοῡμαι» — φτάνω στο έσχατο σημείο (Δημοσθ.)

θ) «ἡ ὑπερβολὴ τῆς φιλίας» — το άριστο και ευγενέστατο είδος φιλίας (Αριστοτ.)

ι) «τὸ καθ' ὑπερβολήν» — ο υπερθετικός βαθμός τών επιθέτων (Αριστοτ.)

ια) «καθ' ὑπερβολὴν ἐν ἐνδείᾳ εἶναι» — το να βρίσκεται κανείς σε έσχατη ένδεια (Αριστοτ.).